在理查德一家人开始憧憬未来的时候，世界数学界毫无预兆的突然沸腾了！ 最初的原因是陶轩之在他的博客上发表了一封乔喻发给的信。

     成功的数学家之间相互经常邮件沟通探讨数学问题是件很平常的事情。

    越是厉害的数学家越是如此。

     而且在外界看来，两人其实在某种程度上本就应该有共同语言。

    比如，小时候都属于神童，长大了也没荒废。

     尤其是两人在数学层面的涉猎都很广泛。

     更别提陶轩之在乔喻还没有被世界数学界广泛认可之前，对这位后起之秀的评价就很高。

     不止一次帮乔喻站台就是明证，两人私下会有联系，本就是在所有人意料之中的事情之所以引发了数学界的轰动，还是因为这封信探讨的问题一一湍流跟N-S方程！ 时隔七年，乔喻终于再次向数学下手了。

     这封信的内容如下： 陶轩之先生：见字面。

     前些日子袁老掐指一算，认为我有解决湍流本质问题的潜力，所以这段时间我一直在思考关于湍流，关于N-S方程的光滑跟唯一性问题。

     不得不说这的确是个很有意思的问题。

    巧的是在我研究这个问题的时候正好看到了2014年你在美国数学学会会刊上发表的论文一一《三维N-S方程的平均解的有限时间爆破》。

     所以写了这封信探讨一些我最近针对三维N-S方程的想法。

     你在论文中所构造的平均版本欧拉双线性算子，证明了对于一个初值u0的湍流系统会在有限时间内爆炸。

     我大概将之理解为一个机器人A洒了一瓶可乐，于是他复制了自身机器人B去收拾残局，机器人B又复制了机器人C清理· 就这样一直不停复制，直到机器人×直接释放爆炸性能量，洒掉的可乐被清理干净， 所有机器人也不复存在。

     我觉得很有意思，你的研究让针对N-S方程的一种研究思路从此断绝了证明的可能。

     也给了我很大的启发一一即证明过程必须要有区分原算子和平均化算子的方法。

     这也让乔代数几何再次有了用武之地。

     在传统分析框架下，原算子与平均化算子会在巴拿赫空间中形成不可调和的矛盾，就像你所揭示的爆破机制那样。

     但如果我们将每个速度场单元u（，t)投射到模态空间（α，β）中，通过N_α，β(u) 的模态投影，可以构造出具有以下特性的新双线性型： B(u，v)=_{∈「}[N_{α+Y，β}(u)β_QV_N_{α，β-}(v)] 其中「就是你论文中定义的临界频率区间。

    现在请你我都暂时忘记黎曼曲面与欧氏空间的界限。

     来欣赏这个构造的精妙之处！ 相信你也发现了，当趋近爆破阈值时，对应的模态分量N_{α+Y，β}(u)会因其自守性要求而自动湮灭一一这本质上将你所发现的机器人×的爆炸转化为了模态空间中的守恒律。

     现在让我们回忆一下乔代数几何中的模态守恒定理。

     如果将若将初始条件u0改写为N_α，β（u0)=[Φ_k_I]，其中每个Φ_k满足模态单位数稳定性条件IlN_α，β（Φ_k）Il=1，那么能量传递链会在第k+I≤dimM步时必然出现参数流形M的定向反转。

     为此我构造模态流形M7上的特殊示性类，并证明了任何导致有限时间奇点的解，必然违反N_α，β（1）的模态单位性定理。

     当然，相信看到这里你已经发现问题了！ 我的思路还有两个致命漏洞无法验证，一个是如何将粘性项△u嵌入模态空间的曲率张量；另一个则是我还无法解释爆破解在模态参数（α，β）→（0，π/2)时的渐近行为。

     事实上我已经借用量子模拟超算进行了数次奇异涡旋模态分解。

    但显然，目前的结果并没有能直接证明其具备光滑解跟唯一性的证据。

     所以肯定还有我没想到的地方，如果你不忙的话，也许我们能一起针